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Du findest hier meine sieben Arbeiten, in denen die Natürliche Geometrie und ihre physikalische Deutung ursprünglich publiziert wurden, zusammen mit einer deutschen Übersetzung ihrer Abstracts.

Die Links führen jeweils zur pdf-Datei der Original-Arbeit.
Man beachte bestehende Copyrights.


1. Klaus Th. Ruthenberg - Angles Generate More Fundamental Frames than Lengths
Hadronic Journal, 2003 USA, 26, 67 - 92
(26 Seiten - 210 kB)

Abstract: Natürliche Geometrie ersetzt das übliche Euklidische Modell der quaternionisch-komplexen Zahlen durch ein allgemeineres geometrisches Bild. Natürliche Geometrie ist von Hause aus eine Struktur, in der es keine "gerade Linien (Geraden)", keine "Längeneinheit", keine "kartesische Koordinaten-Systeme" gibt. Wird Trigonometrie auf diesem Wege begründet, so führt das zu zwei komplementäre Systeme der Winkelmessung. Beides, lineare und circulare Winkelkoordinaten können quaternionisch-komplexe Zahlen beschreiben. Die zwei komplementären Koordinatensysteme sind durch die Dualitäts-Transformationen verbunden. Die skalare imaginäre Einheit i ist der Operator dieser Dualität. Der Gebrauch linearer Koordinaten ist aufzufassen als eine nicht-periodische Fortsetzung der Trigonometrie, die klassische periodische Fortsetzung der Trigonometrie basiert auf der circularen Form der Winkelmessung. Natürliche Geometrie gestattet so ein neues Verständnis der Lorentz-Transformationen, die zu verstehen sind als erzeugt durch die nicht-periodische Fortsetzung der Trigonometrie.


2. Klaus Theodor Ruthenberg - Quanta Perceived as Quaternions
Electromagnetic Phenomena, Kiew 2003, Vol.3,1,(9) (Special Issue "Dirac Equation, Neutrinos and Beyond")
(13 Seiten - 404 kB)

Abstract: Quaternionen sind sphärische Partikel im dreidimensionalen Raum; und besitzen zwei komplementäre Koordinatensysteme. Eine quaternionische Sphäre (Kugel), eine konforme Figur, die kein Zentrum, keinen Durchmesser und keinen lokalen Ort besitzt, kann betrachtet werden sowohl als materieller Punkt wie auch als Element einer Welle. Physikalische Bewegungen sind zu beschreiben als Bewegungen eines quaternionischen sphärischen Partikels. Bei Gebrauch linearer Koordinaten muss ein sphärisches quaternionisches Quantum gesehen werden als die Bewegung eines elementaren physikalischen Partikels lokalisiert in einem Punkt. Bewegte quaternionische Quanten, die beschrieben sind mittels circularer Winkel-Koordinaten erscheinen als Elemente einer Welle. Fasst man die Zahlen des Hamiltonschen Schiefkörpers als die ersten (ursprünglichen) Elemente unseres natürlichen Raumes auf, so besitzt die physikalische Wissenschaft ein neues weiträumiges Modell, das - frei von Widersprüchen - die klassische Dualität von Wellen und Teilchen umfasst.


3. Klaus Ruthenberg - Quaternions as Spherical Particles in the Three-dimensional Conformal space
Journal of Natural Geometry 19, London 2001, 121-138
(18 Seiten - 790 kB)

Abstract: Das Triangel-Modell der Quaternionen hat seinen Ursprung in der konformen Geometrie. Eine Quaternion ist ein zentrierter und gerichteter Tetraglobe im drei-dimensionalen konformen Raum. Die Multiplikation der quaternionischen Zahlen besteht in der Komposition solcher sphärischer Partikel. Quaternionen (nicht Punkte oder Vektoren) sind die Grund- und Basis-Elemente des Natürlichen Raumes. Die komplexen Hamiltonschen Zahlen sind pure Winkel-Entitäten. Nur wenn (im Nachhinein) eine Längeneinheit definiert (vorhanden) ist, kann man diese Zahlen benutzen, um Zeit- und Raum-Komponenten physikalischer Ereignisse zu beschreiben. Der Spin quaternionischer Partikel ist der Logarithmus seiner Ladung.


4. Klaus Ruthenberg - Conformal Background of Euclidean Trigonometry
Journal of Natural Geometry 19, London 2001, 93-120
(13 Seiten - 1,16 MB)

Abstract: Wesentliche Teile der Euklidischen Trigonometrie sind zu verstehen als die Trigonometrie konformer Tetragloben. Metrische Basisstrukturen des Natürlichen Dreidimensionalen Raumes sind definierbar allein mit Hilfe von Tetragloben als ersten (primären) Elementen dieses natürlichen Raumes. Dies kann geschehen, ohne dass man Euklidische Basiskonzepte wie "Gerade Linien", "Länge" oder "Punkt-Lokalisation" benutzt.


5. Klaus Ruthenberg - Measurement of Angles and Elementary Angle Functions Defined by Conformal Cross Ratios
Journal of Natural Geometry 18, London 2000, 131-150
(20 Seiten - 915 kB)
(Misprinted numbering of equations in this article is corrected to the right numbering (2.1)-(9.6) in the reprint, Journal of Natural Geometry 19, London 2001, 73-92)

Abstract: Das Messen von Winkeln und die trigonometrischen Funktionen werden definiert mit Hilfe des konformen Doppelverhältnisses, ohne den Gebrauch irgendeiner Euklidischen Struktur. Die elementaren Beziehungen zwischen den 2x3 trigonometrischen Funktionen sind die Beziehungen zwischen den 2x3 Permutationen eines reellen Doppelverhältnisses.


6. Klaus Ruthenberg - The Quaternionic Structure of 3-dimensional Natural Geometry
Journal of Natural Geometry 16, London 1999, 125-140
(13 Seiten - 126 kB)

Abstract: Ableitung einer Isomorphie zwischen Euklidischen Dreiecken und Hamiltonschen Quaternionen. Zwei Parameter, c und h, erscheinen in dieser Isomorphie. Diese werden physikalisch interpretiert als Lichtgeschwindigkeit und Wirkungsquantum. Die Grundgrößen c und h sind eingeschränkt durch die Gleichung ch = i. Dies erzwingt die Einführung imaginärer physikalischer Maßeinheiten.


7. Klaus Ruthenberg - Dreiecke als Elemente algebraischer Körper
Praxis der Mathematik, März 1967, 65 - 70
(6 Seiten - 427 kB)

Abstract: Diese elementar gehaltene Arbeit beschreibt die Darstellung der quaternionischen Zahlen und ihrer Multiplikation im dreidimensionalen Raum unserer Anschauung unter didaktischen Gesichtspunkten, in deutscher Sprache, anhand von neun geometrischen Figuren.


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Kapitel 4 - "Science als Natürliche Geometrie"