5. ZWEI OFT GESTELLTE FRAGEN

Nur ein schlechter Bourbaki-Schüler mag meinen, dass die geometrische Darstellung der Zahlen kein Thema der Reinen Mathematik ist. Wesentliche Stufen mathematischen Fortschritts muss man sehen als Früchte der Auseinandersetzung zwischen den Theorien von den Zahlen und den geometrischen Konzepten. Die Gestalt der Euklidschen Elemente ist wesentlich bedingt durch das Dilemma, dass die Diagonale des Einheitsquadrates nur durch √2 gemessen werden kann. Moderne Reelle Analysis wurde erst möglich zusammen mit Descartes' Idee der Analytischen Geometrie. Man verstand die Mathematik erst als eine Strukturtheorie, nachdem die nicht-euklidischen Geometrien entdeckt waren. Dies gibt mir Veranlassung, das Konzept und die Stellung der Natural Geometry zu klären durch Beantwortung zweier fundamentaler Fragen:


1. Ist die NATÜRLICHE GEOMETRIE der Zahlen eine nicht-euklidische Geometrie?

  • JA
    • Diese Geometrie kann aufgebaut und begründet werden ohne den Lehrsatz des Pythagoras zu benutzen.
    • Von Hause aus besitzt diese Geometrie keine Euklidschen Geraden und Längen auf solchen Linien.

  • NEIN
    • Die Winkelsumme in konformen Triangeln ist zwei rechten Winkeln gleich, wie in Euklidischen Dreiecken.
    • Natürliche Geometrie verallgemeinert das Euklidische Konzept der Ähnlichkeit von Figuren und teilt diese Idee mit der Euklidschen Geometrie und nur mit dieser.

2. Ist die NATÜRLICHE GEOMETRIE der Zahlen eine nicht-kartesische Geometrie?

  • JA
    • Diese Geometrie startet ohne die Benutzung Kartesischer Koordinatensysteme.
    • Zu Beginn gibt es keine Separation einer Zahl in Real- und Imaginärteile. Im Allgemeinen werden Koordinaten nicht benutzt um den imaginären Raum-Teil zu beschreiben.

  • NEIN
    • Auch Natural Geometry bedient sich der Zahlen, um geometrische Figuren zu beschreiben. Sie benutzt diese Grundidee des Descartes.
    • Aber sie trachtet nach einer Perfektion dieser Kartesischen Idee, indem sie die Reellen Zahlen substituiert durch Komplexe Zahlen; durch eine "Vereinigung" der Theorie der Zahlen und der Geometrie Euklidischer Dreiecke, durch Auffassen der "natürlichen geometrische Welt" als eine (dreidimensionale) "Zahlengerade" mit quaternionischen "Triangel-Punkten".



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