2.4. TETRAGLOBE - ein Modell physikalischer Partikel

2.4.1.
Mein in USA 2003 erschienener Artikel "Angles generate more fundamental frames than lengths", Hadronic Journal 26, 67-92 (2003) legt dar, dass sich Komplexe Zahlen in zwei komplementären Modellen metrisch beschreiben lassen.
Dies liefert
- eine neue Auffassung und Einordnung der Lorentz-Transformationen;
- die Basis dafür, dass sich physikalische Quanten unmittelbar als quaternionisch-komplexe Zahlen verstehen lassen.


2.4.2.
Ich gebe im Folgenden eine deutsche Kurzfassung der zehn Headlines aus dem letzten Abschnitt meines Artikels "Quanta perceived as quaternions", Electromagnetic Phenomena, V.3, Nr. 1 (9), 2003. Sie fassen zusammen, aus welchen Gründen ich physikalische Quanten als Zahlen verstehe.

1. Punkte wurden zu problematischen Modellen
Theoretische Physik sucht nach einem geometrischen und physikalischen Basiskonzept, welches das traditionelle Modell "Punkt" ersetzen kann. Ein neuartiger, "komplexer" "Punkt" ist gefragt, der eine innere Struktur besitzt. Das Wort "String" weist hin auf Versuche, die in dieselbe Richtung gehen. Jede nicht-reelle Zahl, realisiert als konformes Triangel (Tetraglobe) besitzt eine innere Struktur und eine geometrische, durch ihre Winkel bestimmte Gestalt.

2. Der Partikel-Wellen-Dualismus
Eine quaternionisch-komplexe Zahl, welche die Gestalt eines Triangels hat, kann aufgefasst werden als ein Element, das in der Grenze - infolge seiner von Längenmetrik freien Form - sowohl die Struktur eines klassischen Punktes (Partikels) als auch die Struktur einer Ebene (dem Element einer Welle) besitzt.

3. Dreidimensionaler natürlicher Raum
Physikalische Quanten sind elementare natürliche Elemente, die im 3-dimensionalen Raum unserer Erfahrung existieren. Mit Hilfe des Triangel-Bildes können auch Zahlen gesehen werden als elementare geometrische (und so auch physikalische) Figuren im Raum unserer praktischen Erfahrung. Die Mathematik hat bewiesen, dass der ursprüngliche Zahlbegriff nicht auf beliebig hohe Dimensionen extrapoliert werden kann. Bei meiner geometrischen Zahlauffassung beschränkt sich der Zahlbegriff auf drei und nur drei Dimensionen. Wenn diese Zahlen akzeptiert werden als primäre Elemente des natürlichen Raumes, ist die Tatsache von drei Dimensionen, welche den physikalischen Erfahrungsraum charakterisiert, theoretisch verstanden. Andere Versuche, das traditionelle Raumelement "Punkt" durch Elemente mit innerer Struktur zu ersetzen, haben Mühe, eine hohe formale Dimensionenzahl auf die natürliche Dreizahl zu reduzieren. Die natürlichen drei Dimensionen sind ein rein mathematisches Faktum, wenn physikalische Quanten mathematische Zahlen sind.

4. Die Frage der Lokalisierung
Die Quantenphysik hat deutlich gemacht, dass das Konzept "Länge" ("Durchmesser eines Atoms") und das Konzept der "Lokalisation" (beispielsweise eines Elektrons) mikrophysikalisch oft ihren Sinn verlieren. Wie ein physikalisches Quant hat eine Zahl, welche ein dreiwinkliger Tetraglobe (eine Kugel) der natürlichen Konformgeometrie ist, im Allgemeinen keinen definierten Durchmesser. Nur unter speziellen Bedingungen kann man ein (physikalisches) Quant und eine (mathematische) Zahl "lokalisieren". Die Mathematik beispielsweise kann so nur verfahren, falls ein rechtwinkliger Tetraglobe aufgefasst und benutzt wird als ein (Kartesisches) Koordinatensystem, in dem die Existenz einer Längeneinheit vorausgesetzt wird; und in dem eine Punkt-Lokalisation zu beschreiben ist, wenn man Zahlen zu Vektoren reduziert.
(Klaus Ruthenberg, Quaternions as spherical particles in the 3-dimensional conformal space, Jour. Nat. Geometry, 19, 2001, 121-138)

5. Quanten sind Triangeln
Quaternionen können nicht nur gesehen werden als Vektoren (Punkte), sondern auch als Triangel der Natürlichen Geometrie. Diese doppelte Struktur der Zahlen illustriert geometrisch die Doppelstruktur physikalischer Quanten. Eine physikalische Bewegung kann nicht exklusiv beschrieben werden durch eine Vektorfunktion t → x = x(t) der Zeit t (Heisenberg). Aber eine Quaternion kann exklusiv gesehen werden als Element einer physikalischen Bewegung in unserem natürlichen Erfahrungsraum. Quaternionische Quanten können immer geschrieben werden als eine Summe aus Real- und Vektorteil. Aber diese beiden Summanden können nicht immer gesehen (gemessen) werden als ein realer Zeit-Parameter t und ein vektorieller Lokalisierungs-Parameter x (oder als eine Masse m und ein Impuls p). In der Mikrophysik ist die Produktdarstellung eines Quantums A = ρ * W fundamentaler als seine Summen-Darstellung A = α + a. Quanten in dieser Produktform sind Schrödingers Ψ-Zahlen. Physikalische Bewegungen können auf diesem höheren Level beschrieben werden durch Ψ-Funktionen, während die klassische Vektor-Darstellung von Bewegungen ihren physikalischen Sinn verloren hat.

6. Mechanik als Geometrie
Eine komplette geometrische Feldtheorie der quaternionischen Zahlen in drei Dimensionen kann auch die differentialgeometrische/funktionentheoretische Auffassung der Mechanik komplettieren, die - basierend auf Descartes Koordinatendarstellung geometrischer Elemente - in klassischer Form von Newton eingeleitet und von Riemann und Einstein entwickelt wurde; die sich aber bisher nur "im Reellen" bewegt, ohne dass nicht-reelle Zahlen in ihrer komplexen geometrischen Struktur als Grundelemente des geometrisch-physikalischen Raumes akzeptiert wurden. Es stellt sich die Grundfrage: Können Einsteinsche Punkt-Übertragungen längs geodätischer Linien substituiert werden durch eine differentialgeometrische Übertragung von komplexen Zahl-Quanten zwischen individuellen - aber nicht immer lokalen - Räumen Natürlicher Geometrie?

7. Ein neues Winkelkonzept
Das konforme Bild der Zahlen macht klar, dass die "Euklidische" Trigonometrie (individueller, lokaler) physikalischer Räume entwickelt werden kann ohne Konzepte wie "Länge" und "Gerade". Winkel kann man ohne den Gebrauch von Längen und geraden Linien definieren. Das Konzept "Winkel" ist fundamentaler als das Konzept "Länge". Einsteins Spezielle Relativitätstheorie lässt uns nachsinnen über (längenmetrische) Basisbegriffe wie "Zeit", "Abstand" und "Masse"; die relativistische Theorie konnte Masse und Energie identifizieren. Eine theoretische Identifikation von Zahlen und Quanten führt zu einer Besinnung darüber, was Winkel physikalisch bedeuten. Diese Reflektion förderte zu Tage, dass nur eine natürliche Einheit der Winkel aber keine natürlichen Einheiten von Zeit und Masse existieren. Gute Gründe legen eine Identifikation nahe von Wirkungsquantum und Winkeleinheit.

8. "Winkel = Quarks" - ein heuristischer Gesichtspunkt
Systematiken für Elementarteilchen wurden angestoßen durch das Quark-Konzept. Hierbei war der Grundgedanke, ein Teilchen anzusehen als ein System von drei Quarks. Aber Quarks können für sich genommen nicht beobachtet werden. Dies ist ein typisches - aber auch mysteriöses - Verhalten von Quarks. Zahlen, geometrische Systeme von sphärischer Gestalt, sind Triangel, charakterisiert durch die Maßzahlen von drei Winkeln. "Winkel" ist ein fundamentaleres Konzept als "Abstand" ("Größe"). Winkel erscheinen physikalisch als eine neue Form von Bewegungen ("gefrorene Bewegungen"). Aber Winkel können offensichtlich - nicht in mysteriöser Weise - nur abhängig (von Figuren) beobachtet werden.

9. Die Einmaligkeit des Zahl-Körpers
Die Mathematik besitzt einen und nur einen (Schief-)Körper der Zahlen: Nur die Infinitesimalrechnung des quaternionischen Schiefkörpers ist im strengen Sinne vergleichbar mit dem infinitesimalen Kalkül des reellen und komplexen Zahlkörpers. Nur diese drei Körper - die reellen Zahlen, die gemeinen komplexen Zahlen und die quaternionischen Zahlen - bilden topologische Körper, welche lokal-kompakt und zusammenhängend sind (Frobenius, Pontrjagin). Als Elemente einer solchen besonders ausgezeichneten algebraischen Körperstruktur sind Zahlen anzusehen als "Ureinwohner" der Welt reiner Mathematik. Auch die Physik ist befasst allein mit einer und nur einer Struktur, der Struktur der natürlichen Welt. In dem hier skizzierten Sinne besitzen beide, die physikalische und die mathematische Welt ein und nur ein (dreidimensionales) Feld elementarer Partikel; und (physikalische) Quanten besitzen "ebenso wie" (mathematische) Zahlen eine komplementäre Struktur.

10. Physikalische Bewegungen sind quaternionische Funktionen
Der klassischen Mechanik liegt das Axiom zugrunde: Eine physikalische Elementarbewegung ist entweder eine Punkt-Bewegung oder eine Wellenbewegung. Die Quanten-Mechanik hat das Axiom akzeptiert, dass eine physikalische Elementarbewegung sowohl eine Wellen- als auch eine Punkt-Bewegung ist. Der perfekte Gebrauch quaternionischer Zahlen, um Mechanisches zu beschreiben, ist traditionell behindert durch das Axiom: Die Multiplikation Komplexer Zahlen muss geometrisch mit Hilfe von Drehungen aufgefasst werden - und Lorentz-Transformationen kann man nicht als (reelle) Drehungen verstehen. Dieser Gegensatz lässt sich aufheben, sofern die Trigonometrie quaternionischer Zahlen sowohl reelle als auch imaginäre Maßzahlen von Winkeln akzeptiert; und wenn die klassischen, Euklidischen Differenzen zwischen Euklidischen Geraden und Euklidischen Kreisen eliminiert werden, indem man das Konzept "Konformkreis" der Natürlichen Geometrie benutzt. Das Grundelement jeder physikalischen Bewegung ("Einstein-Transformation") kann anschaulich aufgefasst werden in zweifacher (komplementärer) Weise als Drehung und als Lorentz-Transformation, falls das klassische Bild der Zahl-Multiplikation (durch die Komposition von (Streck-)Drehungen) substituiert wird durch die Komposition von Triangeln (vergleiche Figur 3). Quaternionische Triangeln sind sowohl Elemente einer Punkt- als auch einer Wellen-Bewegung; quaternionische Quanten sind beides, Partikel und Elemente von Wellen (Angles generate more fundamental frames than lengths, Hadronic Journal 26, 2003, 67-92).

"Von einem geschlossenen Gesamtbild der raum-zeitlichen Wirklichkeit sind wir ... weit entfernt" wusste noch Erwin Schrödinger, Begründer der Wellenmechanik. Natürliche Geometrie, wie ich sie verstehe, bahnt konkrete, wenn auch ungewohnte Wege zu diesem Gesamtbild, dessen Fehlen die Klassiker moderner Physik zeitlebens beklagten. Nicht nur in ihren Augen ist es "eine philosophische Verstiegenheit, dass es ein objektives Bild der Wirklichkeit in irgendeinem früher geglaubten Sinne überhaupt nicht geben kann". (Erwin Schrödinger, Gesammelte Abhandlungen, Band 4, Wien 1984)

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