2. Ein neues geometrisch-physikalisches Grundgebilde

Teile meiner mathematischen Ergebnisse und ihrer physikalischen Deutung wurden auf der Pekinger Mathematiker-Tagung 2002 anhand eines Posters vorgestellt, das ich hier in der englischen Fassung wiedergebe und auf Deutsch erläutere.

2.1. TETRAGLOBE - eine konforme Grundfigur

2.1.1. Ich konstruiere die konforme Geometrie ohne Benutzung Euklidischer Elemente. Eine solche autark entwickelte Geometrie bezeichne ich im Blick auf meine physikalische Deutung als "Natürliche Geometrie". Die Welt dieser Geometrie kennt keine Geraden. Im Begriff "Konformkreis" sind die klassischen Begriffe "Gerade" und "Kreis" aufgehoben: Ein Konformkreis ist kein Euklidischer Kreis, denn er besitzt beispielsweise keinen Mittelpunkt - ähnlich einer Euklidischen Gerade. Ein Konformkreis ist niemals eine Euklidische Gerade, denn er ist immer in sich geschlossen - ähnlich einem Euklidischen Kreis. Winkel sind Gebilde aus Konformkreisen, ihre Messung kann man nicht mittels Euklidischer Tangenten bewerkstelligen.
(Klaus Ruthenberg, Measurement of angles and elementary angle functions defined by conformal cross ratios, Journal of Nat. Geometry, 18, 2000, 131-150; korrigierte Fassung in Jour. Nat. Geometry., 19, 2001, 73-92)

2.1.2. Ein Tetraglobe bildet die Basisfigur der Natürlichen Geometrie (Peking-Poster, Figur 1). Jedes komplexe Doppelverhältnis ist als eine Maßzahl dieser Grundfigur zu verstehen. Es gibt keine reellen Längenmaße, aber es gibt nicht-reelle Maßzahlen, die einen Tetraglobe metrisch beschreiben. Diese Maßzahlen sind die Grundlage einer von der Euklidischen Geometrie (und ihrer Winkelvorstellung) unabhängigen Winkelmessung. Ein Tetraglobe lässt sich auffassen als ein "nicht-euklidisches" Modell eines Euklidischen Dreiecks (mit Umkreis). Es hat mit dem Euklidischen Dreieck gemeinsam die Euklidische Winkelsumme. Die duale Struktur und eine viergliedrige Symmetriegruppe jedes Euklidischen Dreiecks treten erst auf der Ebene der Natürlichen Geometrie zutage.
(Klaus Ruthenberg, Conformal background of Euclidean geometry, Jour. Nat. Geometry, 19, 2001, 93-120)

Weil ein konformer Tetraglobe ebenso wie ein Euklidisches Dreieck im Wesentlichen nur genau drei Winkel besitzt (mit Euklidischer Winkelsumme), spreche ich einen Tetraglobe auch einfach an als ein "(konformes) Triangel". Spätestens seit Hilbert ist jedermann klar, dass zu unterscheiden ist zwischen der abstrakten Euklidischen Struktur und ihrer modellmäßigen, anschaulichen, physikalischen Darstellung. Felix Klein war in der Lage, die Euklidische Geometrie als spezielles, metrisches System der Projektiven Geometrie zu verstehen. Unsere physikalische Grundlagen-Diskussion krankt daran, dass eine analoge Betrachtung der Euklidischen Geometrie vom höheren Standpunkt der Konformen Geometrie nicht bekannt (nicht üblich) ist. Ich führe dies unter anderem darauf zurück, dass eine von der Euklidischen Geometrie unabhängige Konstruktion der Konformen Geometrie bis hin zum Winkelbegriff zum ersten Male von mir durchgeführt wurde.


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Kapitel 2.2 - "Ist das klassische Modell Euklidischer Dreiecke unzeitgemäß?"
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Peking-Poster 2002, Figur 1